A więc: mam kilka zadań z matematyki, co do których chcę się upewnić, czy dobrze je rozwiązałem. Z siedmiu całkowicie wykonałem tylko dwa, nad pozostałymi muszę dłużej pomyśleć.
2. Czy istnieje taka całkowita liczba dodatnia n, że 2n jest kwadratem liczby całkowitej, zaś 1024n jest czwartą potęgą liczby całkowitej? Odpowiedź uzasadnij.
Odp: nie istnieje. Przyjąłem, że n musi być liczbą 2 podniesioną do potęgi x. n do potęgi x+1 musi być kwadratem jakiejś liczby, co pasuje do n = 2,8,32,128..., kolejne wyrazy ciągu mnożone przez 4. n do potęgi x+10 musi być czwartą potęgą jakiejś liczby.
x to wykładnik (czy jak to się nazywa) potęgi.
Jeśli x mod 2 = 0, to x+1 nie jest kwadratem liczby całkowitej.
Jeśli x mod 4 = 1, to x+10 nie jest czwartą potęgą liczby całkowitej.
3. Na okręgu umieszczono 2010 punktów białych i 1 punkt czerwony. Rozpatrujemy wszystkie możliwe wielokąty o wierzchołkach w tych punktach. Ktorych wielokątów jest więcej: mających czerwony wierzchołek, czy niemających go? Odpowiedź uzasadnij.
Odpowiedź: więcej jest tych z czerwonym wierzchołkiem.
Nie będę wyprowadzał wzorów, podam tylko ten właściwy i wynik.
Wszystkich wielokątów jest:
n(((n-3)(n-2))/2)+1
Wielokątów z czerwonym wierzchołkiem:
(((n-3)(n-2))/2)*((2(n-3)+1)/3)
Wynik: wszystkich wielokątów jest 4056259397, a tych z czerwonym wierzchołkiem 2700811204.