Zadanie z rachunku różniczkowego

[Platyna]

Czy ktoś z obecnej tu studiującej starszyzny miał może na analizie i pamięta albo po prostu potrafi wymyślić dowód na to, że funkcja jest równa swojej pochodnej wtedy i tylko wtedy gdy jest postaci c*exp(x) dla pewnego c rzeczywistego? Grzebałem na googlach i nigdzie nic.

 

EDIT:

Pewno i tak skończy się na tym, że będę musiał się rejestrować na matematyka.pl. :P

[Makary155]

Mnie uczyli tylko tyle że exp(x)'=exp(x) bez udowadniania, bo "nie mamy na to czasu"

[Platyna]

Akurat to, że c*exp(x) = (c*exp(x))' jest bardzo proste do udowodnienia. Ale jest to tylko implikacja w jedną stronę. Potrzba jeszcze wykazać, że żadna inna funkcja nie ma takiej właściwości.

[Wojo]

NIE DA SIĘ TEGO ROZWIĄZAĆ KONIEC KROPKA .

[Platyna]

NIE DA SIĘ TEGO ROZWIĄZAĆ KONIEC KROPKA .

To właśnie powiem jutro swojemu ćwiczeniowcowi od analizy. :)

[Jakim]

Rozwiązaniem ogólnym równania jest właśnie (można się jeszcze posilić o przesunięcia liniowe poziome). Chyba że właśnie przebieg tego rozwiązania Cię interesuje.

 

W zasadzie to można udowodnić to bez znajomości rachunku różniczkowego. Bez straty ogólności przyjmijmy, iż współczynnik jest dodatni. Wtedy z równania różniczkowego wynika, że funkcja jest:

- ściśle monotoniczna,

- bez miejsc zerowych, ekstremów lokalnych, punktów przegięcia etc.,

- gładka,

- granice w nieskończonościach wynoszą odpowiednio 0 i nieskończoność,

- całkowicie leżąca nad jedną osią OX.

 

O tym, że istnieje tylko jedna taka krzywa spełniająca równanie, można się przekonać, wybierając dowolny punkt oraz bawiąc się stycznymi - konstrukcja będzie jednoznaczna.

 

Powyższa argumentacja jest tylko szkicem, oczywiście wszystko trzeba byłoby dowieść formalnie.

[Platyna]

Rozwiązaniem ogólnym równania jest właśnie . Chyba że właśnie przebieg tego rozwiązania Cię interesuje.

 

Skoro mam to udowodnić, to tak. Interesuje mnie. ;)

 

EDIT:

W zasadzie to można udowodnić to bez znajomości rachunku różniczkowego. Bez straty ogólności przyjmijmy, iż współczynnik jest dodatni. Wtedy z równania różniczkowego wynika, że funkcja jest:

- ściśle monotoniczna,

- bez miejsc zerowych, ekstremów lokalnych, punktów przegięcia etc.,

- gładka,

- granice w nieskończonościach wynoszą odpowiednio 0 i nieskończoność,

- całkowicie leżąca nad jedną osią OX.

Takie własności ma dowolna funkcja wykładnicza więc wiele te fakty nie dają, a jaką zabawę stycznymi masz na myśli nie bardzo widzę niestety.

[Jakim]

Konstrukcja geometryczna jest nieco trudniejsza niż przewidywałem, ale jak tylko ją wyznaczę, wrzucę. Tymczasem.

 

Zdefiniujmy funkcję f w następujący sposób:

 

 

Obliczmy jej pochodną i przyrównajmy do zera (otrzymamy nasze równanie różniczkowe):

 

 

Stąd wynika na mocy wniosku Lagrange'a, że funkcja f jest stale równa jakiejś liczbie rzeczywistej, oznaczmy jako C. Wracając do początku, otrzymujemy, że:

 

 

Tak otrzymane rozwiązanie spełnia warunek jednoznaczności, wyznacza całą przestrzeń rozwiązań równania różniczkowego.

[Platyna]

Może ja czegoś nie rozumiem, ale wydaje mi się, że jedyne czego to dowodzi to tego, że c*exp(x) spełnia równanie. Ale to tylko implikacja w jedną stronę, która jak pisałem jest banalnie prosta do udowodnienia. Trzeba by jeszcze w drugą stronę udowodnić. Że żadna inna funkcja nie spełnia.

[kt1117]

Kurna, chyba jestem idiotą, bo nic nie rozumiem.

[Jakim]

Rozwiązanie jest globalne; gdyby istniało inne, należałoby do rodziny funkcji . Jeżeli Cię to rozumowanie nie przekonuje, sprawdź kryteria jednoznaczności równań różniczkowych, np. twierdzenie Picarda.