Matematyka - zadania

[Muuuuczek567]

A więc: mam kilka zadań z matematyki, co do których chcę się upewnić, czy dobrze je rozwiązałem. Z siedmiu całkowicie wykonałem tylko dwa, nad pozostałymi muszę dłużej pomyśleć.

 

2. Czy istnieje taka całkowita liczba dodatnia n, że 2n jest kwadratem liczby całkowitej, zaś 1024n jest czwartą potęgą liczby całkowitej? Odpowiedź uzasadnij.

 

Odp: nie istnieje. Przyjąłem, że n musi być liczbą 2 podniesioną do potęgi x. n do potęgi x+1 musi być kwadratem jakiejś liczby, co pasuje do n = 2,8,32,128..., kolejne wyrazy ciągu mnożone przez 4. n do potęgi x+10 musi być czwartą potęgą jakiejś liczby.

x to wykładnik (czy jak to się nazywa) potęgi.

Jeśli x mod 2 = 0, to x+1 nie jest kwadratem liczby całkowitej.

Jeśli x mod 4 = 1, to x+10 nie jest czwartą potęgą liczby całkowitej.

 

3. Na okręgu umieszczono 2010 punktów białych i 1 punkt czerwony. Rozpatrujemy wszystkie możliwe wielokąty o wierzchołkach w tych punktach. Ktorych wielokątów jest więcej: mających czerwony wierzchołek, czy niemających go? Odpowiedź uzasadnij.

 

Odpowiedź: więcej jest tych z czerwonym wierzchołkiem.

Nie będę wyprowadzał wzorów, podam tylko ten właściwy i wynik.

Wszystkich wielokątów jest:

n(((n-3)(n-2))/2)+1

Wielokątów z czerwonym wierzchołkiem:

(((n-3)(n-2))/2)*((2(n-3)+1)/3)

Wynik: wszystkich wielokątów jest 4056259397, a tych z czerwonym wierzchołkiem 2700811204.

[Makary155]

Co do pierwszego zadania, sprawdź liczbę 1.

[Nickolas]

Hmm, ja zawsze daje zadania na zadane.pl lub wpisuje treść zadania w google i jest :D Spróbuj :D

[Fervi_]

@Makary

 

Tutaj chyba nie może być 1, gdyż;

jeśli n=1

to 2n=2 (2 razy 1)

 

Czy nie może być zero? Uświadomcie mnie :D

 

Fervi

[Muuuuczek567]

Doktorku,

całkowita liczba dodatnia

[Fervi_]

Tak, tylko zero jest liczbą całkowitą, a nie można określić czy jest dodatnią/ujemną, bo nie ma ujemnego zera :D (zasadniczo dodatniego też nie)

 

Fervi

 

PS. Proszę mnie poprawić, jeśli prawię farmazony :D

[Kofel]

Zero jest liczbą całkowitą, najmniejszą nieujemną.

[Marmot]

W tym pierwszym też bym obstawiał brak rozwiązania, bo jakby przyrównać 2n do sqrt(1024n), to wychodzą wyniki 0 i 256. 0 nie jest liczbą dodatnią (to też akurat jest kwestia umowna, zależna od definicji), a 256 nie spełnia warunku zadania dotyczącego potęg.

 

Oczywiście to przyrównanie jest prawidłowe, o ile dobrze zrozumiałem z tego zadania, że 2n=n^2, a 1024n=n^4.

[Muuuuczek567]

Matematyk z kółka mówi, że 0 nie jest liczbą dodatnią ani ujemną. To tak jak z funkcją sign(x), prawda?

@Marmot: nie całkiem. Nie 2n = n^2 i 1024n = n^4, tylko 2n = o^2 i 1024n = p^4. Mam na myśli, że o i p nie musi być równe n.